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自变量改变量的微分

微分的定义是基于导数的,导数的定义中,分母是△x,也就是说导数是因变量的增量除以自变量增量的商的极限,因变量的微分是导数乘以自变量的增量,因变量的增量略大于微分,差距在于一个无穷小量,一个是弦的高度差,一个是切线的高度差,自然因变量的增量不等于因变量的微分.理解了导数与微分的意义,就可以想通自变量的微分为什么等于增量了,因为自变量变化沿着横轴,斜率为零,增量与微分所差的那个无穷小恒为零.画出那个图,你就能理解了.重点是增量与微分的差别在于一个无穷小量,理解这个就能理解微分与增量的不同.

在数学中,微分是对函数的局部变化的一种线性描述.微分可以近似地描述当函数自变量的变化量取值作足够小时,函数的值是怎样改变的.比如,x的变化量△x趋于0时,则记作微元dx.当某些函数的自变量有一个微小的改变时,函数的变化

对于任意y=f(x)有: dy=f'(x)Δx (函数的微分) dy=df(x)=f'(x)dx 即f'(x)dx=f'(x)Δx 所以自变量的微分等于自变量的改变量

当导数不等于零时两者是等同阶无穷小.若导数等于零时,微分是自变量变化量的高阶无穷小.

问题出在省略的高阶无穷小.看看微分得定义:当y是x的函数时,Δy =f'(x)Δx+o(Δx),记:dy=f'(x)Δx当y是x的函数,x是t的函数时,Δy =f '(x)g'(t)Δt+f '(x)o(Δt)+o(Δx)=f '(x)g'(t)Δt+o(Δt) dy=f '(x)g'(t)Δt

其实应该这么理解,书上给出了函数y=f(x)的微分,即dy=f'(x)△x,其实dy就是△y,用文字解释就是函数的微小增量等于函数的导数与自变量增量的乘积.现在知道了函数微分的求法了,那么自变量的微分又等于什么呢?为了求自变量的微分,就需要构建一个函数,使得函数的微分等于自变量的微分,这样才能利用微分的定义解出自变量的微分.函数y=x刚好就是寻找的函数,即函数的微分与自变量的微分是相同的,这样再利用定义就可以证明了dx=△x.所以,上面的证明缺少了构建函数y=x之前的分析,就会显得是用特殊性证明一般性了,其实y=x是根据需要构建的.

这里"如果y=x"只是告诉你说dx=Δx而已,是把微分的概念推广到自变量身上.因为微分我们说的是某函数可微而不是自变量可微,自变量本身没有"微分"的概念.所以为了从符号上进行统一,把dy=f'(x)Δx全部统一成dy=f'(x)dx,我们就人为构造了一个函数y=x,即用x去换dy=f'(x)Δx里面的y,这样一来就得出了dx=Δx的结论,把微分的概念扩张到了x的身上.

dy=f'(x)Δx ,当y=x时,y'=1,所以有dx=Δx这里主要说明x的微分是什么?不是什么只适用于y=x 的情况也就是说:y的微分是f'(x)Δx ,x的微分是Δx既然x的增量与x的微分相等,微分公式都可以写成dy=f'(x)dx,这样与导数又统一了.

0.02 ,先求出y在x=0处的倒数0.5,在有0.5乘以0.04得出

(1)把x的值带入式子,则改变量为y(0.01)-y(0)=-1.97-(-2)=0.03微分dy=3dx(求导公式得),自变量变化量为dx=0.01,则dy=3*0.01=0.03(2)如上用的方法 改变量y(0.99)-y(1)=(0.9801-2.97+1)-(1-3+1)=0.0101微分dy=(2x-3)

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