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秩为1的矩阵分解

设矩阵A秩为1,则A可以通过初等变换化为:A=P1P2…Pm E Q1Q2…Qn (P,Q为初等矩阵,E为右上角数字为1,其余为0的矩阵)而E可以化为一个行矩阵R(1,0,…,0)和列矩阵S(1,0,…,0)^T的乘积故A=P1P2…Pm E Q1Q2…Qn=P1P2…PmS RQ1Q2…Qn(P1P2…PmS即为所求的列矩阵,RQ1Q2…Qn即为所求的行矩阵)

设a为n*n矩阵,rank(a)=1 记a=(a1,…,an),ak,k=1,…,n为n维列向量 不妨设a1不是零向量,那么由rank(a)=1可得 ak=bk*a1,bk为数 于是a=(a1,b2*a1,…,bn*a1)=a1*(1,b2,…,bn) 若a=uv,u为列向量,v为行向量,且u,v均不是零向量,记v=(v1,…,vn) 那么rank(a)=rank(uv)=rank(u(v1,…,vn))=rank(uv1,…,uvn)=1

任何矩阵都能分解成两个矩阵的乘积(比如单位阵和本身), 这没什么值得证的如果你想问的是分解成列向量和行向量的乘积, 那么化到等价标准型即得结论

a^t相当于一个1*n的矩阵.b相当于一个n*1的矩阵.矩阵与向量的乘法本质上就是矩阵之间相乘.

观察就好了.因为秩为1 肯定行或列成比例的 举个例子1 1 12 2 23 3 3 就化成123 和1 1 1的成绩 一个是公共的部分,一个比例系数

如果a是mxn的实矩阵,那么rank(aa^t)=rank(a^ta)=rank(a) 如果进一步有rank(a)=n(此时显然一定要有m>=n),那么rank(a^ta)是n阶可逆阵

设A为n*n矩阵,rank(A)=1记A=(a1,…,an),ak,k=1,…,n为n维列向量不妨设a1不是零向量,那么由rank(A)=1可得ak=bk*a1,bk为数于是A=(a1,b2*a1,…,bn*a1)=a1*(1,b2,…,bn)若A=uv,u为列向量,v为行向量,且u,v均不是零向量,记v=(v1,…,vn)那么rank(A)=rank(uv)=rank(u(v1,…,vn))=rank(uv1,…,uvn)=1

存在可逆矩阵P,Q使得A=P*D*Q其中D是分块对角阵1 00 0相应地把P按列分块,Q按行分块就可以得到PDQ其实就是P的第一列和Q的第一行的乘积

你问的应该是“n阶矩阵能分解为1列矩阵与1行矩阵的乘积时,就可以确定它的秩为1吗?”吧.如果是这样,那么结论是:n阶非零矩阵能分解为1列矩阵与1行矩阵的乘积时,则它的秩为1.事实上,若A为n阶非零矩阵,则R(A)>=1,又A=αβ,α为列矩阵(或者说列向量),β为行矩阵(或者说行向量)则R(A) 评论0 0 0

如果A是mxn的矩阵,rank(A)=r.可以把A分解成mxr的满秩矩阵X和rxn的满秩矩阵Y的乘积,即A=XY且rank(X)=rank(Y)=rank(A)=r,这样的分解就叫满秩分解,当然当r>0时满秩分解不唯一.一般来讲用Gauss消去法就能给出满秩分解,线

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