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用定积分表示极限 例题

(a) lim(n->+∞) [ 1/n +n^2/(n+1)^3++n^2/(8n^3)]=lim(n->+∞) ∑(i:0->n) n^2/(n+i)^3=lim(n->+∞) (1/n) ∑(i:0->n) 1/(1+i/n)^3=∫(0->1) dx/(1+x)^3= -(1/2)[ 1/(1+x)^2]|(0->1)=(1/2)( 1 - 1/4)=3/8(b) lim(n->+∞) (1/n)[ sin(π/n) +sin(2π/n)++sin(nπ/n)]=lim(n->+∞)

(1)原式=lim1/n*∑1/(1+(i/n)^2)=∫(0→1)dx/(1+x^2)=arctanx|(0→1)=π/4(2)原式=∫(0→1)sin(πx)dx=-cos(πx)/π|(0→1)=2/π

1、本题的解答方法是运用定积分的定义,化无穷级数的极限计算为定积分计算;2、转化的方法是,先找到 dx,其实就是 1/n;3、然后找到 f(x),这个被极函数,在这里就是 根号x;4、1/n 趋近于0,积分下限是0;n/n 是 1,积分上限是 1.具体解答过程如下:

解:根据定积分的定义,lim(n→∞)∑(1/n)f(i/n)=∫(0,1)f(x)dx,i=1,2,……,n.其中,视“1/n”为dx、f(i/n)为f(x)、i/n为x的变化范围. ∴(1)题,原式=lim(n→∞)∑(1/n)/(1+i/n),视1/n为dx、f(i/n)=1/(1+x)、i/n∈(0,1],∴原式=lim(n→∞)∑(1/n)/(1+i/n)=∫(0,1)

lim<n-∞> ∑ 1/√(n^2+k^2)=lim<n-∞> 1/n*∑ 1/√[1+(k/n)^2] 可根据积分定义 lim 1/n* ∑f(k/n)=∫<1,0> f(x) dx有:=∫<1,0> 1/√(1+x) dx=ln|x+√(1+x^2)| |<1,0>=ln(1+√2)

ln 2 ==我照片

=∫(0到1)√xdx.

原式=lim(n->∞){(1/n)[(1/n)^p+(2/n)^p+(3/n)^p+(4/n)^p+.+(n/n)^p]}=∫(0,1)x^pdx=[x^(p+1)/(p+1)]|(0,1)=1/(p+1)

1、本题是典型的化极限为定积分的类型;2、具体解答是,主要是找到被积函数的形式,跟dx,以及积分区间的确定;3、具体解答如下:

最低0.27元开通文库会员,查看完整内容> 原发布者:a979331856 .利用定义计算定积分∫12x0dx.y注解f(x)在[0,1]上连续,必可积分.i将[0,1]n等分,分点为xi=ni,(i=1,2,L,n)xi=1ξ=取inn2i则f(ξi)xi=ξi2xi=3io1xnnn1n211111f(ξ)x=in(n1)(2n1)

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