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数学定积分问题∫(0到π) E^(2Cosx)Cos(2sinx)Cos(3x) Dx

被积函数是偶函数,把区间放大到 [-pi,pi] 后积分也变成原来的2倍注意到e^(2cosx)cos(2sinx) = Re[e^(2e^{ix})]所以只需计算出 I = \int_{-pi}^pi e^(2e^{ix})cos(3x) dx 即可(可以理解为对 I 取实部,也可以利用奇偶性直接看出虚部为 0)再注意到e^(2

∫0到π/2区间sinxcosxdx= -∫0到π/2区间cosxd(cosx)= -(cos^3x)/3 |0到π/2= 1/3

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∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx= ∫(0→π/2) e^(2x) d(sinx)= e^(2x)sinx|(0→π/2) - ∫(0→π/2)sinxde^(2x)= e^πsin(π/2)-0-2 ∫(0→π/2) e^(2x) sinx dx= e^π + 2 ∫(0-π/2) e^(2x) d(cosx)= e^π

被积函数是偶函数,把区间放大到 [-pi,pi] 后积分也变成原来的2倍 注意到 e^(2cosx)cos(2sinx) = re[e^(2e^{ix})] 所以只需计算出 i = \int_{-pi}^pi e^(2e^{ix})cos(3x) dx 即可(可以理解为对 i 取实部,也可以利用奇偶性直接看出虚部为 0) 再注意到

解:∫(上限π/2,下限0) e^(2x)cosxdx=∫(上限π/2,下限0) e^(2x)d(sinx) =e^π + 2∫(上限π/2,下限0) e^(2x)d(cosx) =e^π - 2 - 4∫(上限π/2,下限0) e^(2x)cosxdx 故:∫(上限π/2,下限0) e^(2x)cosxdx=(e^π - 2)/5.

∫(0~π/2) cos2x/(cosx + sinx) dx= ∫(0~π/2) (cosx - sinx)/(cosx + sinx) dx= ∫(0~π/2) (cosx - sinx) dx= sinx + cosx |(0~π/2)= [(1) + (0)] - [(0) + (1)]= 0

[cos(x/2)-sin(x/2)]=[cos(X/2)+sin(x/2)]+2sin(x/2)cos(x/2)=1+sinx∫(π/2,0)[cos(x/2)-sin(x/2)]^2dx=∫(π/2,0) 1+sinx dx=x|(π/2,0)-cosx|(π/2,0)=(π/2)+1

积化和差 或者更简单的∫[0,2\π]sinxcos^2xdx=-∫[0,2\π]cos^2xdcosx=-∫[1,0]x^2dx=1/3

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