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求对函数ln(1+x)的n阶导数

如图

望采纳

y'=1/(1+x)=(1+x)^(-1) y''=-1*(1+x)^(-2) y'''=-1*(-2)*(1+x)^(-3)=2*(1+x)^(-3) y''''=2*(-3)*(1+x)^(-4)=-6*(1+x)^(-4) 所以y^(n)=(-1)^(n+1)*(n-1)!*(1+x)^(-n)

y'=1/(1+x)=(1+x)^(-1) y''=-1*(1+x)^(-2) y'''=-1*(-2)*(1+x)^(-3)=2*(1+x)^(-3) y''''=2*(-3)*(1+x)^(-4)=-6*(1+x)^(-4) 所以y^(n)=(-1)^(n+1)*(n-1)!*(1+x)^(-n)

导一次不会吗? 再导第二次不会? 再导第3次呢? 规律应该看出来了吧?

书上面的对,你没有对1-x里面的x求导,那样还会产生一个-1,正好就抵消了

解;数学归纳法, 赋值法, 令n=1,y'=1/(1+x)=(1+x)^(-1)=(-1)x(1+x)^(-2)y=y的0届导数=ln(1+x) y''=(y')'=(-1)x(1+x)^(-2)=(-1)^1(1+x)^(-2) y'''=(y'')'=-1x(-2)x(1+x)^(-3)=(-1)^2x1x2x(1+x)^(-3) 数学归纳法,y的n届导数=(-1)^(n-1)x1x2x.....

∵y′=11+x;y″=?1(1+x)2;y″′=(?1)21?2(1+x)3;∴y(n)=(?1)n?1(n?1)!(1+x)n

按下图把函数拆开为两个简单函数,就可以比较容易地求出高阶导数的公式。

题主真tm是个英雄,啥也不说了,我没办法评论,只好在这里感慨一下

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