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求对函数ln(1+x)的n阶导数

如图

先利用函数ln(1+x)的幂级数展开式 ln(1+x)=∑(-1)^n x^(n+1)/(n+1), n=0到∞求和 于是y=ln(1+x²)=∑(-1)^n x^(2n+2)/(n+1) 依次求导可得 y'=∑(-1)^n [(2n+2)/(n+1)]x^(2n+1) y''=∑(-1)^n [(2n+2)(2n+1)/(n+1)]x^(2n) ....... y的k阶导数=∑(-1...

书上面的对,你没有对1-x里面的x求导,那样还会产生一个-1,正好就抵消了

y=(1-x)/(1+x)=-1+2/(x+1)=-1+2(x+1)^(-1) 所以y'=-2(x+1)^(-2) y"=4(x+1)^(-3) y'''=-12(x+1)^(-4) 所以y(n)=-2*n!*(x+1)^[-(n+1)] 即y(n)=-2*n!/(x+1)^(n+1)

f(x)=ln(1-x2)=ln(1+x)+ln(1-x) f'(x)=1/(1+x)+1/(1-x) f''(x)=-1/(1+x)^2+1/(1-x)^2 f'''(x)=2/(1+x)^3 + 2/(1-x)^3 以此类推 n阶导数=(-1)^(n-1)(n-1)!/(1+x)^n +(n-1)!/(1-x)^n

这个直接展开成x的多项式形式就好了 先用泰勒公式展开ln(1+x)=((-1)^n)*(1/n)*x^n 然后把x^2乘进去就好了+~ 即f(x)=x^2ln(1+x)=((-1)^n)*(1/n)*x^n+2 哦 这里忘说了 这个之所以是f(x)的n阶导是因为 f(x)是可以展开成上面那个关于x的级数的多项...

按下图把函数拆开为两个简单函数,就可以比较容易地求出高阶导数的公式。

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