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求(COSx)∧4在0到π/2的不定积分

cosx的4次方的从0到π 因为cosx的4次方是以π 为周期的函数 所以 ∫(0,π)cosx的4次方dx=∫(-π/2,π/2)cosx的4次方dx=2(0,π/2)cosx的4次方dx=2*3/4*1/2*π/2=3π/8

∫(cosx)^4dx=∫(cosx)^3*cosxdx,利用公式4(cosx)^3-3cosx=cos3x,得原式=∫(cos3x+3cosx)*cosx/4 dx=1/4∫(cos3xcosx+3cosx*cosx)dx,再积化和差,=1/4∫((cos4x+cos2x)/2+(3/2*(cos2x+1)))dx=1/8∫(cos4x+cos2x+3cos2x+3)dx=1/8∫(cos4x+4cos2x+3)dx=1/8(1/4sin4x+2sin2x+3x)+C(原函数),上下标代进去,结果为3π/16.不好意思算的很急,来不及验算,你验证一下吧. ps:现在验算完了,应该无误尽管结果很怪

∫(0→π/2) (cosx)^4 dx=(1/4)∫(0→π/2) (1+cos2x)^2 dx=(1/4)∫(0→π/2) ( 1+2cos2x+ (cos2x)^2 ) dx= (1/4) [ x + sin2x ](0→π/2) + (1/8)∫(0→π/2) ( 1+2cos4x ) dx=π/8 + (1/8)[ x + sin(4x)/2 ](0→π/2)=π/8 +π/16=3π/16

∫(0到π/4)(cosx)^4 dx=∫(0到π/4)【(1+cos2x)/2】^2 dx=(1/4) ∫(0到π/4)【(1+cos2x)】^2 dx=(1/4) ∫(0到π/4) 【1+2cos2x+(cos2x)^2】 dx=(1/4) ∫(0到π/4) 【1】dx + (1/4) ∫(0到π/4) 【2cos2x】 dx+ (1/4) ∫(0到π/4) 【(cos2x)^2】 dx=【x/4】(0到π/4) +1/4

展开全部2cos^2x=1+cos2x 所以:(1/2)∮(1+cos2x)dx=(1/2)(2π)+(1/4)0=π

cosx=(1+cos2x)/2原式=1/4*∫(1+2cos2x+cos2x)dx=x/4+∫cos2xd2x+∫cos2xdx=x/4+sin2x+∫(1+cos4x)/2dx=x/4+sin2x+x/2+sin4x/8(0到π/2)=3π/8

通过几次降次即可求出,不定积分最后结果是3X/8 + sin2x/4 + sin4x/32 + C(常数)

∫(0->π)(cosx)^4dx=2∫(0->π/2)(cosx)^4dx然后这个套公式即可哈∫(0->π/2)(cosx)^(2n)dx=(2n-1)*(2n-3)**1/[2n*(2n-2)*(2n-4)*2]*π/2n=4∴∫(0->π)(cosx)^4dx=2∫(0->π/2)(cosx)^4dx=2*3*1/(4*2)*π/2=3π/8如仍有疑惑,欢迎追问. 祝:学习进步!

具体步骤如下:(cosx)^4=cosx=(cosx)=[(1+cos2x)/2]=(1/4)(1+2cos2x+cos2x)=(1/4)+(1/2)cos2x+(1/8)(1+cos4x)=(3/8)+(1/2)cos2x+(1/8)cos4x∫cosxdx=∫[(3/8)+(1/2)cos2x+(1/8)cos4x]dx=(3/8)x+(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+c

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