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矩阵的秩与方程组的解

可以用系数矩阵与增广矩阵的秩来判断线性方程组是否有解,有无穷解还是唯一解 ①当系数矩阵的秩 < 增广矩阵的秩时,无解;②当系数矩阵的秩 = 增广矩阵的秩 = 未知量的个数时,有唯一解 ③当系数矩阵的秩 = 增广矩阵的秩 < 未知量的个数时,有无穷解

设矩阵A的秩 r(A) = r,A为 m*n 矩阵,则 齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n - r(A) 个向量.

1,若Ax=0,则A'Ax=0; 若A'Ax=0,则x'A'Ax=0,即(Ax)'Ax=0,故Ax=0. 从而方程Ax=0跟方程A'Ax=0通解.所以r(A'A)=r(A)=r(A').2.此方程系数矩阵为A'A,它的秩r(A'A)=r(A'); 增广矩阵为(A'A/ A'B),它的秩r(A'A/ A'B)=r[A'*(A/ 'B)]=r(A'A)=r(A'),故r(A'A/ A'B)=r(A').所以方程系数矩阵跟增广矩阵的秩相等,故原方程必然有解.

秩的含义相当于起作用的方程的个数.一般来说求n个未知数的方程组时,需要n个不重复的方程才可以解出来,当方程个数小于n(列数)时,至少有一个未知数可以任意取值,所以就有无穷多解(有非零解).而秩小于行数只能说明有一些方程是多余的,与是否存在非零解是没有关系的.

只有当系数矩阵和增广矩阵的秩相等时方程组才有解.且对应齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为n-r(系数矩阵).具体总结如下:设A为系数矩阵,(A,b)为增广矩阵,秩(A)

通解的秩?没这个说法,要么是求通解,要么是求基础解系从你所给的同解方程组来看,自由未知量是 x3,x4它们分别取(1,0),(0,1) 即可得基础解系:( 3,-2,1,0)^T,(-4,3,0,1)^T

1、系数矩阵的秩与变量个数相同,则有唯一解,只能是零解.2、系数矩阵的秩小于变量个数,则有无穷解,有非零解,此时解空间的维数是变量个数减去系数矩阵的秩.对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后,不全为

.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n,方程组有唯一零解 齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A) n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零

使用初等行变换来求矩阵的秩A=1 0 -1 21 1 0 -12 1 -1 13 2 -1 0 第2行减去第1行,第3行减去第1行*2,第4行减去第1行*3~1 0 -1 20 1 1 -30 1 1 -30 2 2 -6 第3行减去第2行,第4行减去第2行*2~1 0 -1 20 1 1 -30 0 0 00 0 0 0这样就得到非零行为2,所以矩阵的秩R(A)=2

当m>n时R(AB) <=R(A)<=min{m,n} = n < m方程组有非零解故(B)正确

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