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高数求解,讨论无穷级数(n=1)ln[1+(%1)^(n%1)/n^p]敛散性

可以用比值审敛法,求后一项减前一项的极限

解:设an=ln[1+(-1)∧n/n∧p],∵当n→∞时,ln[1+(-1)∧n/n∧p]~(-1)∧n/n∧p,∴an与(-1)∧n/n∧p有相同的敛散性. 而,p>0时,(-1)∧n/n∧p收敛、p≤0时,(-1)∧n/n∧p发散, ∴p>0时,ln[1+(-1)∧n/n∧p]收敛、p≤0时,ln[1+(-1)∧n/n∧p]发散. 供参考.

limln(1+1/n)/(1/n)=limnln(1+1/n)=limln(1+1/n)^n=limlne=1级数发散

1)由于 lim(n→∞)|{1+[(-1)^n]/(n^p)}|/[1/(n^p)] = lim(n→∞)|[(-1)^n]/(n^p)|/[1/(n^p)] = 1, 故当 p>1 时,级数 ∑[1/(n^p)] 收敛,故原级数 ∑{1+[(-1)^n]/(n^p)} 绝对收敛;而当 p≤1 时,级数 ∑[1/(n^p)] 发散,故原级数非绝对收敛. 2)当 p≤

当p>1时,1/n^plnn<1/n^p,而级数1/n^p收敛,因此原级数收敛.当p<=1时,先考虑p=1时,可以用积分判别法:级数1/(nlnn)与广义积分(从2到无穷)dx/(xlnx)同敛散.而积分(从2到无穷)dx/(xlnx) =0.5(lnx)^2|上限无穷下限2 =正无穷,发散,因此 原级数在p=1发散.当p<1时,1/(n^plnn)>1/(n*lnn),故级数在p<1时发散.综上,p>1时收敛,p<=1发散.

因为ln(1+1/n)=1/n-1/2*1/n^2+o(1/n^2) 所以1/n-ln(1+1/n)=1/2*1/n^2-o(1/n^2) 也就是先利用幂级数将ln(1+1/n)=展开,然后观察1/n-ln(1+1/n)的阶.和1/n^2同阶的肯定收敛

当n趋向∞时,ln(1 + 1/n)可等价为1/n所以1/√n ln(1 + 1/n) ~ 1/√n * 1/n = 1/n^(2+1/2) = 1/n^(3/2)根据p级数定义,这里的p>1,所以1/n^(3/2)是收敛的把原级数与σ(n=1->∞) 1/n^(3/2)比较得出原级数σ(n=1->∞) (1/√n)ln(1 + 1/n)也收敛

这级数∑{1≤n}ln〔1+ (-1)^(n-1)/n^p〕,(0

limit{n->∞}(n^(n+1/n))/((n+1/n)^n)=limit{n->∞}[n/(n+1/n)]^n*n*(1/n)=limit{n->∞}[1/(1+1/n^2)]^n*limit{n->∞}n*(1/n)=1/limit{n->∞}exp[n*ln(1+1/n^2)]*limit{n->∞}exp[(1/n)*lnn]=1/limit{n->∞}exp(n*1/n^2)*limit{n->∞}exp(1/n)=1/exp(0)*exp(0)=1 不等于0 级数发散

n稍微大一点,n+1)!/n^(n+1)而一般项 为1/n^2的级数是p=2>1的p级数,是收敛的,所以级数(n+1)!/n^n+1也是收敛的.

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