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反常积分∫x/√(1+x^2)Dx 上下限是正负无穷。求敛散性?

对于上下限都是无穷的情况,奇函数 只能保证 当你的下限和上限是相反数时,积分为0.反常积分本质上讲,是一个极限.如果极限存在,那么,不管下限和上限以何种方式趋向于无穷,积分都应当收敛到同一个值,显然,这一点在这里并不成立.例如,假定你的积分下限是 - N ,而上限是 2N, 显然,当N趋向于无穷时,积分趋向于正无穷.类似的情况还可举出很多.所以,极限是不存在的,反常积分发散.只有当下限和上限以某种固定的方式趋向于无穷时,积分为0或收敛到0,不说明任何问题.这就如同任意给定一个无穷数列,总能找到它的一个收敛子序列一样,但是这个子序列的收敛性对数列本身的敛散性判断没有任何帮助.

这个不能用奇偶性来判断,因为无穷大并不是一个数值 ∫ x/√(1 + x) dx= (1/2)∫ 1/√(1 + x) d(1 + x)= √(1 + x) + C ∫(-∞,= lim(x→+∞) √(1 + x) - lim(x→-∞) √(1 + x) 在x∈[0,+∞),lim(x→+∞) √(1 + x) → +∞ 在x∈(-∞,0],lim(x→-∞) √(1 + x) → -∞ 所以这个极限没有固定值,即极限不存在 这个积分发散.正负无穷大不是数值,不能用作比较.

∫dx/1+x^2 =arctanx lim(x→+∞)arctanx=π/2 lim(x→-∞)arctanx=-π/2 所以原式=π/2-(-π/2)=π

答:∫dx/(1+x+x^2)=∫ dx/[(x+1/2)^2+3/4]=4/3∫dx/[(2x+1)/√3)^2+1]=2/√3∫d[(2x+1)/√3]/[(2x+1)/√3)^2+1]=2/√3arctan[(2x+1)/√3]所以反常积分∫(0到+∞)dx/(1+x+x^2)=limβ→+∞ 2/√3arctan[(2β+1)/√3] - 2/√3arctan(1/√3)=π/2*2/√3-π/6*2/√3=2√3π/9所以反常积分收敛.

∫dx/[x(1+x^2)]=-∫dx/[x^3(1/x^2+1)]=-(1/2)∫d(1/x^2)/(1+1/x^2)=(-1/2)ln(1+1/x^2)+C∫[1,+∞] dx/[x(1+x^2)]=(-1/2)ln1-(-1/2)ln2=(1/2)ln2 ∫dx/[x(1+x^2)] x=tant =∫cottdt=ln(sint) +C-1

因为题目给的函数是奇函数,而上下限是相反数,所以结果为0,或者有严格证明:希望能够帮到你

显然按照基本积分公式 ∫1/√x dx=2√x 或者是 ∫x^-1/2 dx=1/(1-1/2) x(-1/2+1) =2x^1/2 代入上下限正无穷和1 即2√x趋于正无穷 那么此广义积分就是发散的

令t^2=x,则2tdt=dx原式=t/(1+t^4)*2tdt=2t^2/(1+t^4)dt然后对t^4+1进行因式分解,t^4+1=(t^2+√2t+1)(t^2-√2t+1),然后进行多项式分解

注意对1/(x-1)积分 得到的是ln|x-1| 现在积分的上下限为0到正无穷 那么既有瑕点x=1 又有x趋于正无穷 当然就是综合型反常积分了

∫[1/(x^2+x+1)]dx=∫[1/((x+1/2)^2+3/4)]dx=∫[1/((x+1/2)^2+3/4)]dx=4/3*∫[1/((2/√3*(x+1/2))^2+1)]dx=2/√3*∫[1/((2/√3*(x+1/2))^2+1)]d(2/√3*x)=2/√3*∫[1/((2/√3*(x+1/2))^2+1)]d(2/√3*(x+1/2))=2/√3*arctan(2/√3*(x+1/2))当x->+∞时,arctan(2/√3*(x+1/2))>π/2当x->-∞时,arctan(2/√3*(x+1/2))>-π/2所以,原定积分=2/√3(π/2+π/2)=2/√3*π=2√3*π/3

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